1  CHƯƠNG II: Ứ NG D  NG HÀM S    L  Y TH  A HÀM S    M    VÀ HÀM S    LOGARIT  Các bài toán v    hàm s    lũy thừ a hàm s    mũ và hàm số   logarit là các bài toán r  t hay và có nhi  u    ng d  ng trong th  c t  . 1. Các    ng d  ng trong kinh t  : Bài toán lãi su  t trong g  i ti  n vào ngân hàng, bài toán vay - mua tr    góp ... 2.Các    ng d    v  c    i s  ng và xã h  ng v    dân s    .... 3.Các    ng d  c khoa h  c k    thu  t: Bài toán liên quan    n s    phóng x  , tính toán  các cơn dư   ch  n do    ng    t , cường độ   và m  ng        Trướ c khi    c các ph  n ti  p theo c  a tài li  u, các em th    m  t l  n nh    l  i có khi nào ta t  ng    i theo b    (m  ) vào ngân hàng:      g  i ti  n ti  t ki  m, ho  c vay ti  n ngân hàng, ho  c làm m  t th   ATM m  i...           thay    c nh  ng b  ng thông báo v    lãi su  t ti  n g  i, lãi su  t cho vay, các em nghe    c các nhân viên n gân hàng tư   v  n v    hình th  c g  i ti  n (vay ti  n) và cách tính lãi su  t. Li  u có em nào th  c m  i r  ng lãi su  t là gì? có các hình th  c tính lãi su  t  nào thườ ng g  p? Câu tr    l  i s    có trong các ph  n ti  p theo c  a tài li  u. Trong tài li  u nh    này  các em cũng   tìm    c nh  ng câu tr    l  i cho các câu h   Dân s    các qu  c d    báo tăng hay giả m b  ng cách nào?     to (nh  ) c  a âm thanh      nào? ................. Qua n  i dung này, chúng ta s    bi  t v  n d  ng các ki  n th  c      c v    hàm s    lũy thừ a, hàm s   mũ và hàm số   logarit vào      gi  i quy  t m  t s    bài toán th  c t    liên quan các ch       nêu      trên. Các ch       trong bài toán,    c th    hi  n qua các ph  n sau:     Ph  n A: Tóm t  t lí thuy  t và các ki  n th  c liên quan.    Ph  n B: Các bài toán    ng d  ng th  c t      Ph  n C: Các bài toán tr  c nghi  m khách quan.    Ph  ng d  n gi  i câu h  i tr  c nghi  m.  A. TÓM T  T LÝ THUY  T  Trướ c h  t chúng ta tìm hi  u m  t s    khái ni  n sau.  1.   Ti  n lãi   là m  t khái ni  i hai góc      khác nhau là người cho vay và người đi  vay.      góc      ngườ i cho vay hay nhà    n, ti  n lãi là s    ti    v  n     ban    u trong m  t giai    o  n th  i gian nh  nh. Khi nhà    em    t kho  n v  n, h 2  mong mu  n s    thu    c m  t giá tr    trong tương lai, hơn giá trị        ra ban    u và kho  n ti  n chênh l  nh này    c g  i là ti  n lãi.      góc      ngườ i    i s    d  ng v  n, ti  n lãi là s   ti  n mà   ngườ i    i vay ph  i tr    cho người vay (là ngườ i chù s    h  u v  n)       c s    d  ng v  n trong m  t th  i gian nh  t    nh.  2. Lãi su  t :   Là t    s    ti  n lãi (nh  n    c) ph  i tr    so v  i v  n (cho) vay trong 1      th  i gian.     th  i gian có th    là năm, quý, tháng , ngày. Lãi su  t    c tính b  ng t    l    ph  c s    l    th  p phân.  Ví d  :   M  t ngân hàng A có lãi su  t cho ti  n g  i ti  t ki  m cho k    h  n 1 tháng là 0,65% m  t tháng.  Nghĩa là ta hiể u n  u ta g  i ti  t ki  m vào ngân hàng A v  i s    ti  n      u    ng thì sau m  t tháng s    ti  n lãi ta nh  c là 100.10 P  6 P   x 0,65% = 650.000    ng. Bây gi    ta tìm hi  u m  t s    lo  i lãi su  t hay s    d  ng trong các ngân hàng và các d  ch v    tài chính: lãi      c. Trong ch       này ta tìm hi  u v    lãi     3.   Lãi đơn   là s    ti  n lãi ch    tính trên s    v  n g  c mà không tính trên s    ti  n lãi do s    v  n g  c sinh ra trong m  t khoáng th  i gian c     nh. (Ch    có v  n g  c m  i phát sinh ti  n lãi). Bây gi  ng ta c  m m  t kho  n ti  n g  i ngân hàng, sau m  i tháng ta s    nh  c 0,5% c  a s    ti  n v  n và sinh lãi có th    quan sát trong b  ng sau:  Tháng   T    (Đồ ng) T    (Đồ ng)  1   10.000.000   0,5%. 10.000.000 = 50.000  2   10.000.000   50.000 + 0,5%.10.000.000 = 100.000  3   10.000.000   100.000 + 0,5%.10.000.000 = 150.000  Như vậ y, ta th  y rõ trong su  t quá trình trên ti  n lãi ta có thêm hàng tháng là m  t h  ng s  , ngoài ra ti  n v  n t     u chí cu  i. Bây gi    ta xét bài toán t  ng q uát sau: Ta đưa vào   s    d  ng v  n g  u P R 0 R   v  i mong mu  n   c lãi su  t r m  i kì theo hình th  c lãi      trong th  i gian n kì. Vào cu  i m  i kì ta rút ti  n lãi và ch       l  i v  n. Tính t  ng giá tr     c (v  n và lãi) sau n kì.     Chú ý : Đơn vị   th  i gian c  a m  i kì có th    là năm, quý, tháng, ngày.  Ta theo dõi b  ng sau:

Ứng dụng hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit để giải các bài toán thực tế liên quan

TÀI LI  U H  C T  P TOÁN 12 – CH  NG   BÀI GI  NG:    NG D  NG TOÁN VÀO TH  C TI  N  ADMIN TR      C B  C–TRUNG–NAM   1 |   THBTN  V  y th    tích là              8   8 2 2   2 8   8  2864 81   81   3  V   x   dx   x   dx                                Hướ ng d  n gi  i:  Tính th    tích thùng ch  u là m  t hình tròn xoay có   2      ng nhau và chi  u cao bình là   16 cm   . Đườ ng cong c  a bình là m  t cung tròn c  ng tròn bán kính là   9   .  Bài   1  M    t hanh niên đi dự   tr  i      m    b  n, h    d     nh d  ng m  t l  u tr  i có d  ng parabol (nhìn t    m  c, l  u tr  ng t    trướ c ra sau, m  t sau tr  i c  c gi  c) v  c: n  n tr  i là m  t hình ch    nh  t có chi  u r  ng là   3   mét, chi  u sâu là   6   mét, đỉ nh c  a parabol cách m  t là   3 mét. Hãy tính th    tích ph  n không gian phía trong tr    c    s    lượng ngườ i tham d    tr  i cho phù h   Bài   2  PH  N   8 :   CHUYÊN Đ     NG D  NG TH  C TI  N  CH        8 :    NG D  NG TÍCH PHÂN  Hướ ng d  n gi  i:  Không m  t tính t  ng quát ta xem tâm c  ng tròn là tâm O c  a g  c t  phương tr    x   2      y 2      81 , khi đó thể   tích c  a bình là hình tròn xoay b    gi  i h  n b  i   ng tròn   x   2      y 2      81   và,   y      0; x    8; x      8   .TÀI LI  U H  C T  P TOÁN 12- CH  NG   BÀI GI  NG:    NG D  NG TOÁN VÀO TH  C TI  N  2 |   THBT –TH  Y TÀI: 0977.413.341   H     Gi    s    n  n tr  i là hình ch    nh  t   ABCD có   3 AB      mét,   6 BC      mét, đỉ nh c  a parabol là   I .   Ch  n   h    tr  c   t       Oxy   sao   cho:   O   là   trung    m   c  a   c  nh   AB ,       3   3 ; 0 ,   ; 0 ,   0; 3 2   2  A   B   I                                                         , phương tr   a parabol có d  ng:       2   0 y   ax   b a          , Do  ,   , I A B   thu  c       P   nên ta có:   2 4   3 3  y   x       . V  y th    tích ph  n không gian phía trong tr  i là:        3 2 2   3 0  4 6.2   3   36 3  V   x   dx   m                                     Hướ ng d  n gi  i:  Gi    s    ABCDEF là hình l  u có c  nh b  ng   2 dm, ta tính di  n tích m  t cánh hoa: Ch  n h    tr  c t    Oxy sao cho   O   là trung điể m c  a c  nh   AB ,                   1; 0 ,   1; 0 ,   0; 3 A   B   I   và đỉ nh I c    a parabol có d  ng:       2   0 y   ax   b a          , Do   ,   , I A B thu  c       P   nên   ta   có:   2  3   3 y   x       .   Do    :   di  n   tích   m  i   cánh   hoa   là:             1 2   2 1 1  3   3   4 S   x   dx   dm                V  y: Di  n tích c  a hình là:        2 2 2   3 6   4   6   3   24   34, 39 4  S   dm                                        Hướ ng d  n gi  i:  Hình tròn       C   có tâm       0;2 I   , bán kính   1 R      là       2 2   2   1 x   y         3  4 2     x y     trang trí cho m  t phòng trong m  t tòa nhà, ng  i ta v    lên tườ ng m  t hình nh   sau: trên m  i c  nh c  a hình l  u có c  nh b  ng   2 dm m  t cánh hoa hình  parabol, đỉ nh c  a parabol cách c  nh   3 dm và n  m phía ngoài hình l  c giác, hai    u mút c  a c  nh c      m gi  i h  n c    n tích c  a hình nói trên (k    c    hình l    mua sơn trang trí cho phù hợ p.  Bài   3  Tính th    tích hình xuy  n t  o thành do quay hình tròn (C): x 2   + (y–2) 2   1 quanh tr  c Ox.    Bài   4

Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tiễn – Trần Văn Tài

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.   Thể tích vật thể  Gọi   B   là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục   Ox   tại các điểm   a   và   b ;   ( ) S x   là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục   Ox   tại điểm   x   ,   (   ) a   x   b       . Giả sử   ( ) S x   là hàm số liên tục trên đoạn   [ ;   ] a b   . Khi đó, thể tích của vật thể   B      ( )  b a V   S x dx    2.   Thể tích khối tròn xoay  Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường   ( ) y   f   x    , trục hoành và hai đường thẳng   x   a    ,   x   b    quanh trục   Ox :     Lưu ý:  - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường   (   ) x   g y    , trục hoành và hai đường thẳng   y   c    ,   y   d    quanh trục   Oy :  c  y  O  d  x  (   ):   ( )  (   ):                      C   x   g y  Oy   x   0  y   c y   d      2 ( )        d y c V   g y   dy  (   ) :   ( )  (   ) :                      C   y   f x  Ox   y   0  x   a x   b      2 ( )        b x a V   f   x   dx a     ( ) y   f x  y  O   b   x  ( )      b a S x dx V  x O   a   b  (   )  V  S(x)  x  CHUYÊN ĐỀ  TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường   ( ) y   f   x    , ( ) y   g x    và hai đường thẳng   x   a    ,   x   b    quanh trục   Ox : 2   2 ( )   ( )  b a V   f   x   g   x   dx         B.   BÀI TẬP Câu 1.   Một Elip có phương trình 2   2 1. 9   4       x   y   Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục   Ox   .  Lời giải  Ta có: 2   2   2 1   2 1   . 9   4   9                x   y   x  y  Elip đối xứng qua trục   Ox   nên ta chỉ cần xét hàm số 2 2 1   9        x  y   khi quay quanh   . Ox Phương trình hoành độ giao điểm của 2 2 1   9        x  y   và trục   : Ox  2 2   1   0   3. 9  x   x            Thể tích cần tính: 3   2 3 4 1   16   50, 24 9                              x V   dx  Câu 2.   Tính thể tích   V   của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 0,   ln(   1)        y   y   x   x   và   1 x      xung quanh trục   . Ox  Lời giải  Phương trình hoành độ giao điểm:        0 ln(   1)   0   0 ln   1   0                          x x   x   x x  Ta có:              1 2 0 ln   1   12 ln 2   5 18               V   x   x   dx  Câu 3.   Người ta vẽ nửa đường tròn như   hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi   Nửa hình tròn đường kính   AB   có diện tích là   32     và      30     BAC   . Tính thể tích vật thể tròn xoay        H   (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng   AB   .  Lời giải  Dựng hệ trục toạ độ   Oxy   như hình vẽ.

Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.      Cho hàm số       y   f   x    liên tục, không âm trên đoạn       ; a b   . Khi đó diện tích   S   của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số       y   f   x    , trục hoành và hai đường thẳng   , x   a   x   b       là      d .  b a S   f   x   x      2.   Bài toán 1.   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên đoạn       ; a b   . Khi đó diện tích   S   của hình phẳng       D giới hạn bởi đồ thị hàm số       y   f   x    ; trục hoành   Ox   (   0 y      ) và hai đường thẳng   ; x   a   x   b       là        d  b a S   f   x   x       .  3.   Bài toán 2.   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị       y   f   x    ;       y   g x    và hai đường đường thẳng   ; x   a   x   b       là             d .  b a S   f   x   g x   x          Lưu ý:  1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:     Giải phương trình             f   x   g x    tìm nghiệm       1   2 ,   ,...,   ; n x   x   x   a b        1   2   ...   n x   x   x          .  CHUYÊN ĐỀ  TRONG BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ   Tính                          1   2 1 d   d  x   x a   x S   f   x   g x   x   f   x   g x   x                              ...   d  n b x f   x   g x   x                                      1 d   ...   d  n x   b a   x f   x   g x   x   f   x   g x   x                    . Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị      y   f   x    ;       y   g x    . Khi đó, ta có công thức tính như sau              1 d  n x x S   f   x   g x   x        . Trong đó   1 x   và   n x   tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình             f   x   g x    .  B.   BÀI TẬP 1.   NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM PARABOL Phương pháp  Bước 1.   Chọn hệ trục tọa độ, xác định parabol.  Bước 2.   Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số       y   f   x    và các đường được cho trong bài toán.  Bước 3.   Tùy theo thực tế mỗi bài, tính diện tích theo yêu cầu.  Chú ý:   Mấu chốt của vấn đề tính diện tích parabol nằm ở khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Nên chọn hệ trục sao cho đỉnh parabol luôn nằm trùng với gốc   O   hoặc nằm trên trục   Oy   . Khi    2  y   ax   b       .  Câu 1.   Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao   8 m   và rộng   8 m   .  Hướng dẫn giải      với vòm cửa, sau đó tính diện tích .  CÁC BÀI TOÁN TÍNH DIỆN T   PARABOL ĐƠN THUẦN  D 

Bài toán thực tế